Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=

3

5

，a2=

31

100

且數(shù)列{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，數(shù)列{lg(an+1-

1

2

an)}是公差為-1的等差數(shù)列，求a_n．

Answer 1

分析：由已知中列{a_n}中，a1=

3

5

，a2=

31

100

且數(shù)列{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，我們可以求出an+1-

1

10

an=(

1

2

)n+1，又由數(shù)列{lg(an+1-

1

2

an)}是公差為-1的等差數(shù)列可得an+1-

1

2

an=10^-n-1，聯(lián)立兩個遞推公式，可得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：∵a1=

3

5

，a2=

31

100

∴a2-

1

10

a1=

1

4

，a2-

1

2

a1=

1

100

∵數(shù)列{an+1-

1

10

an}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，首項為a2-

1

10

a1=

1

4

∴an+1-

1

10

an=

1

4

(

1

2

)n-1=(

1

2

)n+1…（1）…（6分）
又{lg(an+1-

1

2

an)}是公差為-1的等差數(shù)列，首項為lg(a2-

1

2

a1)=-2
∴lg(an+1-

1

2

an）=-2+（n-1）（-1）=-n-1
即an+1-

1

2

an=10^-n-1…（2）…（12分）
由（1）（2）得，an=

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)…（14分）

點評：本題考查的知識點是等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式，其中根據(jù)已知得到兩個數(shù)列{a_n}的遞推公式，是解答本題的關(guān)鍵．