Question

已知函數(shù)f（x）=2^x．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范圍；
（3）若當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出F（x）的解析式，用換元法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上求最大值，結(jié)合函數(shù)圖形，分為三類進(jìn)行討論，后歸結(jié)為兩類，寫為分段函數(shù)的形式；
（2）用換元法轉(zhuǎn)化為二次不等式，因?yàn)閠∈（0，1），所以分離參數(shù)，另一邊的式子的取值范圍為（-∞，0），由題意得，a＜0；
（3）利用f（x）=2^x是增函數(shù)去掉不等式中的f，得關(guān)于x的二次不等式，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)在定區(qū)間上求最小值，因?yàn)閷?duì)稱軸不確定，求最小值分為三種情況進(jìn)行討論，把三個(gè)范圍并在一起就是a的取值范圍．

解答：解：（1）F（x）=2^x+a•2^2x，x∈（-∞，0]．
令2^x=t，因x∈（-∞，0]，故t∈（0，1]．
2^x+a•2^2x=at²+t（0＜t≤1）．（2分）
當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）_max=1．（3分）
當(dāng)a≠0時(shí)，令g（t）=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

(0＜t≤1)．
若a＞0，t=1時(shí)g（t）取最大值，g（1）=a+1．（4分）
若-

1

2

＜a＜0，t=1時(shí)g（t）取最大值，g（1）=a+1．（5分）
若a≤-

1

2

，t=-

1

2a

時(shí)g（t）取最大值，g(-

1

2a

)=-

1

4a

．（6分）
綜上，F(x)max=

1+a，a＞- 1 2 - 1 4a ，a≤- 1 2 .

（7分）
（2）令2^x=t，則存在t∈（0，1）使得t²-at＞1，
即存在t∈（0，1）使得a＜t-

1

t

，∴a＜0．a(chǎn)的取值范圍是（-∞，0）．（9分）
（3）因f（x）=2^x是單調(diào)增函數(shù)，故由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²，
問題轉(zhuǎn)化為x+1≤（2x+a）²對(duì)x∈[0，3]恒成立，（10分）
即4x²+（4a-1）x+a²-1≥0，令h（x）=4x²+（4a-1）x+a²-1，
若

1-4a

8

＜0，必需且只需h（0）≥0，此時(shí)得a≥1；（12分）
若

1-4a

8

＞3，必需且只需h（3）≥0，此時(shí)得a≤-8；（14分）
若0≤

1-4a

8

≤3，必需且只需△=（4a-1）²-16（a²-1）≤0，此時(shí)無解．
綜上得a的取值范圍是{a|a≤-8或a≥1}．（16分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查復(fù)合函數(shù)的最值，求參數(shù)的范圍，求函數(shù)最值時(shí)，用轉(zhuǎn)化化歸的思想化成已學(xué)的函數(shù)，一般是二次函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想求最值，（1）與（3）的區(qū)別，（1）中開口方向不定，（3）中是定的，注意（2）中的問法，存在兩個(gè)字，分離參數(shù)，化歸的是單調(diào)函數(shù)．考查邏輯推理，抽象概括能力，綜合運(yùn)用能力．