Question

設(shè)f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）如若x=1時，f（x）有極值，證明：當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時，f（cosθ）-f（sinθ）≤e．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=e^x（x²+（2+a）x+1+a）=e^x（x+1）（x+a+1）；從而討論a以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）知，-a-1=1，從而解得a=-2，從而化簡f（x）=e^x（x²-2x+1）在[-1，1]上是減函數(shù)，從而證明．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（x²+（2+a）x+1+a）
=e^x（x+1）（x+a+1）；
①當(dāng)a=0時，f′（x）≥0，
故f（x）在R上是增函數(shù)，
②當(dāng)a＜0時，x∈（-1，-a-1）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞-a-1或x＜-1時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，-a-1），
單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（-a-1，+∞）；
③當(dāng)a＞0時，x∈（-a-1，-1）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x＜-a-1或x＞-1時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-a-1，-1），
單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1-a），（-1，+∞）；
（2）證明：∵當(dāng)x=1時，f（x）有極值，
∴-a-1=1；∴a=-2；
∴f（x）=e^x（x²-2x+1）在[-1，1]上是減函數(shù)，
故當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時，
f（cosθ）-f（sinθ）≤f（0）-f（1）=1-0=1＜e．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及不等式的證明，屬于中檔題．