Question

已知數(shù)列{a_n}滿足．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（I）∵①
∴=（n-1）²+n-1=n²-n（n≥2，n∈N⁺），②
由①-②得：，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n≥2，n∈N⁺，③
在①中，令n=1，得a₁=5，適合③式，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n∈N⁺．
（II）設b_n=n•2ⁿ⁺¹，其前n項和為T_n，則：
T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，②
②-①，得T_n=-2²-2³-…-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．
∴S_n=T_n+n=（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．
分析：（I）由，知=（n-1）²+n-1=n²-n（n≥2，n∈N⁺），由此能夠得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）設b_n=n•2ⁿ⁺¹，其前n項和為T_n，則T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，由錯位相減法能夠得到T_n，從而能夠得到數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意迭代法和錯位相減法的合理運用．