Question

已知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（a為常數(shù)）
（1）求f（x）的增區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）求f（x）的最小正周期；
（4）求出使f（x）取得最大值時，x的取值集合．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由x∈[0，

π

2

]時，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）取得最大值，再根據(jù)函數(shù)的最大值為4，求得a的值．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期為

2π

ω

，得出結(jié)論．
（4）f（x）取得最大值時，2x+

π

6

=2kπ+

π

2

k∈z，由此求得此時x的取值集合．

解答： 解：（1）對于f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（a為常數(shù)），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時，函數(shù)f（x）取得最大值為2+a+1=4，求得a=1．
（3）函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
（4）f（x）取得最大值時，2x+

π

6

=2kπ+

π

2

k∈z，故此時x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值，屬于中檔題．