Question

CD是正△ABC的邊AB上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖所示．
（Ⅰ）試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）若AC=2，求棱錐E-DFC的體積；
（Ⅲ）在線段AC上是否存在一點P，使BP⊥DF？如果存在，求出

AP

AC

的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，E，F分別是AC和BC的中點，由此能證明AB∥平面DEF．
（Ⅱ）由已知條件推導出AD⊥平面BCD，取CD的中點M，能求出EM⊥平面BCD，EM=1，由此能求出棱錐E-DFC的體積．
（Ⅲ）在線段AC上存在點P，使BP⊥DF．在AC上取點P，使AP=

AC

3

，過點P作PQ⊥CD于Q，由此能求出

AP

AC

=

1

3

．

解答： 解：（Ⅰ）AB∥平面DEF．理由如下：
∵CD是正△ABC的邊AB上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，
現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
如圖，在△ABC中，E，F分別是AC和BC的中點，∴EF∥AB，
∵AB不包含于平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（Ⅱ）∵CD是正△ABC的邊AB上的高，
∴AD⊥CD，BD⊥CD，
將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
依然滿足AD⊥CD，BD⊥CD，
∴CD⊥平面ABD，
在直二面角A-DC-B中，
∵AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，
∵BD?平面BCD，∴AD⊥BD，
取CD的中點M，則EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
∵AC=2，△ABC是正三角形，∴BC=2，AD=BD=1，
∴EM=

1

2

AD=

1

2

，S_△DFC=

1

2

×1×

CD

2

=

1

4

3

，
∴V_E-DFC=

1

3

×EM×S△DFC=

1

3

•

1

2

•

1

4

3

=

3

24

．
（Ⅲ）在線段AC上存在點P，使BP⊥DF．
證明：在AC上取點P，使AP=

AC

3

，
過點P作PQ⊥CD于Q，
連結DF，BQ，交于點O，
在Rt△BCD中，∵BD=BF=DF=1，∴∠BDO=60°，
∵DQ=

1

3

CD=

3

3

，∴tan∠DBO=

DQ

BD

=

3

3

，
∴∠DBO=30°，∴∠BOD=90°，∴DF⊥BQ，
∵DF⊥CQ，BQ∩CQ=Q，
∴DF⊥平面BPQ，∴BP⊥DF，
此時AP=

1

3

AC，∴

AP

AC

=

1

3

．

點評：本題考查直線與平面的位置關系的判斷與證明，考查棱錐體積的求法，考查滿足條件的點提否存在的判斷，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．