Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）對(duì)任意x滿足f（3-x）=f（x），（x-

3

2

）f′（x）＞0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3，則有（　�。�

A．f（x₁）＞f（x₂）

B．f（x₁）＜f（x₂）

C．f（x₁）=f（x₂）

D．不確定

Answer 1

分析：根據(jù)（x-

3

2

）f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)f（3-x）=f（x），可得f（x）關(guān)于x=

3

2

對(duì)稱(chēng)，進(jìn)一步分類(lèi)討論x₁與在x₂的位置關(guān)系，即可得到f（x₁）＞f（x₂）．

解答：解：∵（x-

3

2

）f′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞

3

2

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，x＜

3

2

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減．
∵f（3-x）=f（x），∴f（x）關(guān)于x=

3

2

對(duì)稱(chēng)．
分2種情況討論：
①x₁在對(duì)稱(chēng)軸x=

3

2

的右邊或在對(duì)稱(chēng)軸上，
由x₁＜x₂，易得f（x₁）＜f（x₂）；
②x₁在對(duì)稱(chēng)軸x=

3

2

的左邊，
由x₁+x₂＞3易得x₂＞

3

2

，
∴x₂在對(duì)稱(chēng)軸x=

3

2

的右邊．
又x₂-

3

2

＞

3

2

-x₁，即|x₂-

3

2

|＞|

3

2

-x₁|，
∴f（x₁）＜f（x₂）
綜合可得：f（x₁）＜f（x₂）
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性是關(guān)鍵．