Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-bx（a＞0）和g（x）=lnx的圖象有公共點p，且在點p處的切線相同．且已知a=b，求：切點P的坐標．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應用,直線與圓

分析：設P（x₀，y₀），則lnx₀=ax₀²-ax₀①，f′（x₀）=g′（x₀），聯(lián)立消掉a可得關于x₀的方程，構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求得唯一x₀值，進而可求P的坐標．

解答： 解：設P（x₀，y₀），則lnx₀=ax₀²-ax₀①，
f′（x₀）=g′（x₀），即

1

x0

=2ax₀-a，化簡得1=2ax₀²-ax₀②
聯(lián)立①②消a得，lnx₀=

x0-1

2x0-1

，
令φ（x）=lnx-

x-1

2x-1

，φ′（x）=

1

x

-

1

(2x-1)2

=

(4x-1)(x-1)

x(2x-1)2

，
由②可得x₀＞

1

2

，
易知φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（1）=0，
所以φ（x）=lnx-

x-1

2x-1

有唯一解1，即x₀=1，
則y₀=f（1）=0，a=1．
故P（1，0）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導數(shù)的幾何意義，考查學生靈活運用所學知識分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．