Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1及點(diǎn)B（0，-2），過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．
（1）試確定直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍；
（2）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，橢圓的右焦點(diǎn)為F₂，求△CDF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線(xiàn)l的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用直線(xiàn)和橢圓相交兩個(gè)點(diǎn)，可得△＞0，由此可求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍；
（2）求出直線(xiàn)l的方程，點(diǎn)F₂（1，0）到l的距離，計(jì)算|CD|，即可求得面積．

解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx-2，聯(lián)立橢圓方程，消去y得：（1+2k²）x²-8kx+6=0（*）
由于直線(xiàn)和橢圓相交兩個(gè)點(diǎn)，故△=8（2k²-3）＞0，得：k＞

6

2

或k＜

6

2

．
（2）直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-2）和F₁（-1，0），所以l：2x+y+2=0
點(diǎn)F₂（1，0）到l的距離d=

4

5

聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程得：9x²+16x+6=0，
∴|CD|=|x1-x2|

1+k2

=

10

9

2

∴S△=

1

2

|CD|d=

4

9

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．