Question

給出下列四個命題：
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么

a d

＜

b c

；②已知a、b、m都是正數(shù)，并且a＜b，則

a+m

b+m

＞

a

b

；③若a、b∈R，則a²+b²+5≥2（2a-b）；④函數(shù)f（x）=2-3x-

4

x

的最大值是2-4

3

．其中正確命題的序號是

 

把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：對于①，利用不等式的基本性質(zhì)變形，可以證出

b c

＜

a d

，故①不正確；對于②，利用作差比較的方法，得到

a+m

b+m

與

b

a

差的式子，再討論這個差的各個因式的正負，得到

a+m

b+m

-

a

b

＞0，從而得到②正確；對于③，將a²+b²+5與2（2a-b）作差，再將這個差配方得到（a-2）²+（b-1）²，利用平方非負的性質(zhì)可得到③正確；對于④，首先證明|3x+

4

x

|≥4

3

，從而得出3x+

4

x

≤-4

3

或3x+

4

x

≥4

3

，所以函數(shù)f（x）=2-3x-

4

x

的值域為（-∞，2-4

3

]∪[2+4

3

，+∞），函數(shù)沒有最大值，故④不正確．由此得到正確答案．

解答：解：a＞b＞0，c＞d＞0，
∴0＜

1

c

＜

1

d

且0＜b＜a
所以0＜

b

c

＜

d

a

⇒

b c

＜

a d

，故①不正確；
對于②，

a+m

b+m

-

a

b

=

m(b-a)

b(b+m)

∵b＞0，m＞0，b+m＞0，b-a＞0
∴

a+m

b+m

-

a

b

＞0，故

a+m

b+m

＞

a

b

，②正確；
對于③，∵（a²+b²+5）-2（2a-b）=（a-2）²+（b-1）²≥0，
∴對任意a、b∈R，都有a²+b²+5≥2（2a-b），故③正確；
對于④，∵f（x）=2-3x-

4

x

=2-（3x+

4

x

），
且|3x+

4

x

|≥2

3×4

=4

3

，得3x+

4

x

≤-4

3

或3x+

4

x

≥4

3

，
∴f（x）=2-3x-

4

x

的值域為（-∞，2-4

3

]∪[2+4

3

，+∞），
所以函數(shù)沒有最大值，故④不正確．
故答案為：②③

點評：本題借助于判斷幾個不等式的正確與否，和判斷函數(shù)的最值為載體，著重考查了不等式的基本性質(zhì)、基本不等式和函數(shù)的值域與最值等知識，屬于中檔題．