Question

9．已知函數(shù)f（x）=4tanx sin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期π；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4tanx sin（$\frac{π}{2}$-x）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$=4tanx•cosx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=4sinx•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sinx•sinx=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）
=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）-$\sqrt{3}$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
故它的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．