Question

設(shè)O為復(fù)平面的原點，Z₁和Z₂為復(fù)平面內(nèi)的兩動點，并且滿足：
（1）Z₁和Z₂所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值θ和-θ(0＜θ＜

π

2

)；
（2）△OZ₁Z₂的面積為定值S求△OZ₁Z₂的重心Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)出Z₁，Z₂和Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z₁，z₂和z，由于Z是△OZ₁Z₂的重心，表示其關(guān)系，求解即可．

解答：解：設(shè)Z₁，Z₂和Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z₁，z₂和z，其中
z₁=r₁（coθ+isinθ），
z₂=r₂（coθ-isinθ）．
由于Z是△OZ₁Z₂的重心，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，
則有3z=z₁+z₂=（r₁+r₂）cosθ+（r₁-r₂）isinθ．
于是|3z|²=（r₁+r₂）²cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²cos²θ+4r₁r₂cos²θ+（r₁-r₂）²sin²θ
=（r₁-r₂）²+4r₁r₂cos²θ
又知△OZ₁Z₂的面積為定值S及sin2θ＞0(0＜θ＜

π

2

)，
所以

1

2

r1r2sin2θ=S，即r1r2=

2S

sin2θ

由此，|3z|2=(r1-r2)2+

8Scos2θ

sin2θ

=(r1-r2)2+4Sctgθ
故當(dāng)r₁=r₂=

2S sin2θ

時，|z|最小，且|z|最小值=

2

3

Sctgθ

．

點評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)求模，是中檔題．