Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1
（1）若{a_n}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，求證：

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

（2）若對任意n∈Nⁿ均有a_n+1=

an

an+1

 求數(shù)列{a_n}的通項公式
（3）記（2）中數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：S_2n-S_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）若{a_n}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合不等式的證明方法即可證明

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

（2）若對任意n∈Nⁿ均有a_n+1=

an

an+1

，利用取倒數(shù)法，構(gòu)造等差數(shù)列即可，求數(shù)列{a_n}的通項公式
（3）利用倒序相加法結(jié)合放縮法證明不等式即可．

解答： 解：（1）若{a_n}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，則a_n＞0，
在等差數(shù)列中，不等式

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

等價為

a1+a4

a1a4

≥

a2+a3

a2a3

，
即

1

a1a4

≥

1

a2a3

，即等價為a₁a₄≤a₂a₃，
∵a₂a₃-a₁a₄=（1+d）（1+2d）-（1+3d）=2d²+3d+1-1-3d=2d²≥0，
∴a₂a₃≥a₁a₄，
即不等式

1

a1

+

1

a4

≥

1

a2

+

1

a3

成立．
（2）由a_n+1=

an

an+1

 得

1

an+1

=

an+1

an

=

1

an

+1，
即

1

an+1

-

1

an

=1，故數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，公差d=1的等差數(shù)列，
則

1

an

=1+n-1=n，即a_n=

1

n

，故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

1

n

．
（3）∵a_n=

1

n

，∴S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
設(shè)T_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
則2T_n=（

1

n+1

+

1

2n

）+（

1

2n-1

+

1

n+2

）+…+（

1

2n

+

1

n+1

）=

3n+1

2n2+2n

+

3n+1

2n2+3n-2

+…+

3n+1

2n2+2n

，
當n≥2時，分母2n²+2n最小，
即2T_n=

3n+1

2n2+2n

+

3n+1

2n2+3n-2

+…+

3n+1

2n2+2n

＜

3n+1

2n2+2n

+…+

3n+1

2n2+2n

+

3n+1

2n2+2n

=

n(3n+1)

2n2+2n

=

3n+1

2n+2

=

3

2

-

2

2n+2

＜

3

2

，
即T_n＜

3

4

．
則S_2n-S_n＜

3

4

成立．

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列和不等式的證明，利用倒序相加法以及放縮法是證明不等式的基本方法，綜合性較強，難度較大．