Question

如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為F（3，0），右準(zhǔn)線l的方程為：x=12．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上任取三個不同點P₁，P₂，P₃，使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，證明：

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意知a=6，b=

a2-c2

=

27

=3

3

，故所求橢圓方程為

x2

36

+

y2

27

=1．
（Ⅱ）記橢圓的右頂點為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假設(shè)0≤α1＜

2π

3

，且α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

，又設(shè)點P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|FPi|cosαi)e=

1

2

(9-|FPi|cosαi)（i=1，2，3）．由此入手能夠推導(dǎo)出

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

為定值，并能求出此定值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
因焦點為F（3，0），故半焦距c=3
又右準(zhǔn)線l的方程為x=

a2

c

，從而由已知

a2

c

=12，a2=36，
因此a=6，b=

a2-c2

=

27

=3

3

故所求橢圓方程為

x2

36

+

y2

27

=1
（Ⅱ）記橢圓的右頂點為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假設(shè)0≤α1＜

2π

3

，且α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

又設(shè)點P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|FPi|cosαi)e=

1

2

(9-|FPi|cosαi)（i=1，2，3）
解得

1

|FPi|

=

2

9

(1+

1

2

cosαi)（i=1，2，3）
因此

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=

2

9

[3+

1

2

(cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

))]，
而cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

)=cosα1-

1

2

cosα1-

3

2

sinα1-

1

2

cosα1+

3

2

sinα1=0，
故

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=

2

3

為定值．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系和綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件．