Question

3．已a(bǔ)，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且3cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{3a}$，AC邊上的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)D．
（I）求∠B的大�。�
（Ⅱ）若a=2，且△DBC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求邊c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩角和差的正弦公式以及正弦定理進(jìn)行化簡即可，求∠B的大��；
（Ⅱ）根據(jù)a=2，且△DBC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出BD，利用余弦定理求出CD，可得AD，即可求邊c的值．

解答 解：（I）∵3cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{3a}$，
∴3cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{3sinA}{sinB}$，
∴3sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=3sin（B+C），
∴3sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=3sinBcosC+3cosBsinC，
∴$\sqrt{3}$sinB=3cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=2，且△DBC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}•BD•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BD=1，
∴CD=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$AD=\sqrt{3}$，
∴c=AB=$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評 本題主要考查余弦定理，三角形面積的計算，根據(jù)正弦定理和兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．