Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，已知a₃=11，S₉=153，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設a_n=log₂b_n，證明{b_n}是等比數(shù)列，并求其前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項與求和公式，結合題意建立關于a₁與d的方程組，解之得a₁=5且d=3，由此即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質，可得b_n=2an=2³ⁿ⁺²．由此算出b₁=32且

bn+1

bn

=8（常數(shù)），從而得到數(shù)列{b_n}的是首項為32，公比為8的等比數(shù)列，再用等比數(shù)列求和公式加以計算，即可得到{b_n}前n項和T_n的表達式．

解答：解：（1）設等差數(shù)列的公差為d，
則

a3=a1+2d=11 S9=9a1+ 9×8 2 d=153

，解之得

a1=5 d=3

∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=5+3（n-1）=3n+2；
（2）∵a_n=log₂b_n=3n+2，∴b_n=2an=2³ⁿ⁺²
由此可得b₁=2⁵=32.

bn+1

bn

=

23(n+1)+2

23n+2

=8
∴數(shù)列{b_n}的是首項為32，公比為8的等比數(shù)列．
因此，可得{b_n}前n項和T_n=

32(1-8n)

1-8

=

32

7

（8ⁿ-1）．

點評：本題給出等差數(shù)列的第3項和前9項之和，求它的通項公式并依此求等比數(shù)列{b_n}前n項和．考查了等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式等知識點，屬于中檔題．