Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1（n=1，2，3，…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=

an

2n

，Sn為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求

lim

n→∞

(Sn+n)；
（3）若總存在正自然數(shù)n，使S_n+n-2b_n＜m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將題設(shè)中的條件a_n+1=2a_n-n+1變形為a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），從而可得數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）結(jié)論可求出b_n，由通項(xiàng)公式的形式可以看出，本題宜先用分組求和的技巧，然后對(duì)其一部分用錯(cuò)位減法求和．最后再求極限．
（3）構(gòu)建函數(shù)f(x)=

3x+2

2x

，用導(dǎo)數(shù)的方法可知f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，從而S_n+n-2b_n單調(diào)遞增．要使總存在正自然數(shù)n，S_n+n-2b_n＜m成立，只需求 S_n+n-2b_n的最大值，從而得解．

解答：解：（1）a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），∴

an+1-(n+1)

an-n

=2，
又a₁-1=-2，∴數(shù)列{a_n-n}是以2為公比、以-2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴a_n-n=（-2）•2^n-1=-2ⁿ，∴a_n=n-2ⁿ
（2）由（1）得：bn=

an

2n

=

n

2n

-1，∴Sn=b1+b2+…+bn=(

1

2

-1)+(

2

22

-1)+…+(

n

2n

-1)=(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

)-n，∴Sn+n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，
令Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

，即Sn+n=2-

n+2

2n

，∴

lim

n→∞

(Sn+n)=2．
（3）∵Sn+n-2bn=2-

n+2

2n

-2(

n

2n

-1)=4-

3n+2

2n

＜4
令f(x)=

3x+2

2x

，則f′(x)=

[(3-(3x+2)ln2]

2x

，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)=

[(3-(3x+2)ln2]

2x

≤

3-5ln2

2

=

1

2

ln

e3

32

＜0，
∴f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，∴S_n+n-2b_n單調(diào)遞增，∴Sn+n-2bn≥S1+1-2b1=

3

2

，
∴

3

2

≤Sn+n-2bn＜4，∴若總存在正自然數(shù)n，使S_n+n-2b_n＜m成立，則m＞

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題意數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和，是一道綜合性較強(qiáng)的題，要觀(guān)察分析，判斷，選擇合適的方法，如（1）的求解要從證明的結(jié)論中找變形方向；（2）中的求解要邊變形邊觀(guān)察，化整為零，分塊求解，這對(duì)答題者分析判斷的能力要求較高；（3）則利用函數(shù)的思想，研究其單調(diào)性