Question

18．已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）分別是橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{a}{2}$．
（1）求橢圓G方程；
（2）若點(diǎn)B是橢圓G的是上頂點(diǎn)，過F₂的直線l與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得△BF₂M與△BF₂N的面積的比值為2？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義及條件求得|PF₁|=$\frac{5a}{4}$，|PF₂|=$\frac{3a}{4}$，利用勾股定理求得a，由b=1，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程；
（2）由三角形的面積，可知$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=-2$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，方法一：設(shè)x=my+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及y₁=-2y₂，即可求得m的值，求得直線l的方程；
方法二：設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及y₁=-2y₂，即可求得k的值，求得直線l的方程；

解答 解：（1）由橢圓的定義可知：|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{a}{2}$．
則|PF₁|=$\frac{5a}{4}$，|PF₂|=$\frac{3a}{4}$，
由PF₂⊥F₁F₂，則|PF₁|²-|PF₂|²=丨F₁F₂丨²，得|PF₁|²-|PF₂|²=4，
解得：a²=3，
由c=1，b²=a²-c²=3，
∴橢圓G方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）B到直線MN的距離d，
則△BF₂M面積S₁=$\frac{1}{2}$•丨MF₂丨•d，
△BF₂N的面積S₂=$\frac{1}{2}$•丨NF₂丨•d，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2，則$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=-2$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l：x=my+1，
則y₁=-2y₂，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得整理（3k²+4）y²+6my-9=0，
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
解得：y₁=-$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
∴（-$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$）×$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
解得：m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直線l的方程：x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y+1；
方法二：B到直線MN的距離d，
則△BF₂M面積S₁=$\frac{1}{2}$•丨MF₂丨•d，
△BF₂N的面積S₂=$\frac{1}{2}$•丨NF₂丨•d，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2，則$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=-2$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，
當(dāng)直線l斜率不存在時，F(xiàn)M與FN比值為1，不符合題意，舍去；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
直線l的方程代入橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消x并整理得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$ ①，y₁y₂=-$\frac{9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$②
由FM與FN比值為2得y₁=-2y₂③
由①②③解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴存在直線l：y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x-1）使得△BFM與△BFN的面積比值為2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．