Question

已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)．定義：若對給定的實數(shù)a（a≠0），函數(shù)y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質”；若函數(shù)y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a積性質”．
（1）判斷函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質”，并說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質”的一次函數(shù)；
（3）設函數(shù)y=f（x）（x＞0）對任何a＞0，滿足“a積性質”．求y=f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）先求出 g^-1（x） 的解析式，換元可得g^-1（x+1）的解析式，將此解析式與g（x+1）的作對比，看是否滿足互為反函數(shù)．
（2）先求出f^-1（x） 的解析式，再求出 f^-1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f^-1（x+2）的解析式，用兩種方法得到的 f^-1（x+2）的解析式應該相同，解方程求得滿足條件的一次函數(shù)f（x）的解析式．
（3）設點（x₀，y₀）在y=f（ax）圖象上，則（y₀，x₀）在函數(shù)y=f^-1（ax）圖象上，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
 f(x0)=

x

x0

f(x)，即f(x)=

x0f(x0)

x

，即 f(x)=

k

x

(k≠0)  滿足條件．

解答：解（1）函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）的反函數(shù)是g-1(x)=

x-1

(x＞1)，
∴g-1(x+1)=

x

(x＞0)，
而g（x+1）=（x+1）²+1（x＞-1），其反函數(shù)為y=

x-1

-1(x＞1)，
故函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）不滿足“1和性質”．
（2）設函數(shù)f（x）=kx+b（x∈R）滿足“2和性質”，k≠0．
∴f-1(x)=

x-b

k

(x∈R)，∴f-1(x+2)=

x+2-b

k

，
而 f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函數(shù) y=

x-b-2k

k

，
由“2和性質”定義可知 

x+2-b

k

= 

x-b-2k

k

，對（x∈R）恒成立．
∴k=-1，b∈R，即所求一次函數(shù)f（x）=-x+b（b∈R）．
（3）設a＞0，x₀＞0，且點（x₀，y₀）在y=f（ax）圖象上，則（y₀，x₀）在函數(shù)y=f^-1（ax）圖象上，
故

f(ax0)=y0 f-1(ay0)=x0

，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
令  ax₀=x，則a=

x

x0

，∴f(x0)=

x

x0

f(x)，即f(x)=

x0f(x0)

x

．
綜上所述，f(x)=

k

x

(k≠0)，此時f(ax)=

k

ax

，其反函數(shù)是y=

k

ax

，
而f-1(ax)=

k

ax

，故y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數(shù)．

點評：本題考查反函數(shù)的求法，函數(shù)與反函數(shù)的圖象間的關系，體現(xiàn)了換元的思想，屬于中檔題．