Question

設(shè)f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，a≥-2．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)由導(dǎo)函數(shù)大于0的原函數(shù)的增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0得原函數(shù)的減區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，其中e^x＞0恒成立，要分析函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，引入函數(shù)g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，則需要討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)情況，通過(guò)對(duì)函數(shù)g（x）兩次求導(dǎo)后分析得到函數(shù)g（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上是增函數(shù)，則通過(guò)討論其最小值的符號(hào)可以判斷其零點(diǎn)情況，從而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)情況．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（xlnx-1）e^x，（x＞0）
故f^′（x）=（lnx+1+xlnx-1）e^x=（x+1）e^xlnx．
當(dāng)x=1時(shí)，f^′（x）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，f^′（x）＞0，當(dāng)x＜1時(shí)，f^′（x）＜0．
故f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，
得：f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，
令g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，則g′(x)=

1

x

+lnx+1+a，g′′(x)=-

1

x2

+

1

x

，
顯然g^′′（1）=0，又當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g^′′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)g^′′（x）＞0．
所以，g^′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
故g′(x)min=g′(1)=2+a，∵a≥-2，∴g^′（x）≥g^′（x）_min=2+a≥0．
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則在區(qū)間(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增，
注意到：當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，故g（x）在(

1

e

，+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由
g(

1

e

)=(a-1)(a+1+

1

e

)的符號(hào)決定．
①當(dāng)g(

1

e

)≥0，即-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時(shí)，g（x）在區(qū)間(

1

e

，+∞)上無(wú)零點(diǎn)，
即f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
②當(dāng)g(

1

e

)＜0，即-1-

1

e

＜a＜1時(shí)，g（x）在區(qū)間(

1

e

，+∞)上有唯一零點(diǎn)，
即f（x）有唯一極值點(diǎn)．
綜上：當(dāng)-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時(shí)，f（x）在(

1

e

，+∞)上無(wú)極值點(diǎn)．
當(dāng)-1-

1

e

＜a＜1時(shí)，f（x）在(

1

e

，+∞)上有唯一極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)極值點(diǎn)之間的關(guān)系，利用兩次求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性是該題的難點(diǎn)所在，是有一定難度的題目．