Question

經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：y=

920v	v2+3v+1600

(v＞0)
（1）若要求在該時(shí)間段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到0.1千輛/小時(shí)）

Answer 1

分析：（1）某公路段汽車的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：y=

920v

v2+3v+1600

(v＞0)可得，在該時(shí)間段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)時(shí)，

920v

v2+3v+1600

＞10，解不等式即可求出v的范圍．
（2）根據(jù)基本不等式性質(zhì)可知

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

3+2 1600

，進(jìn)而求得y的最大值．根據(jù)等號(hào)成立的條件求得此時(shí)的平均速度．

解答：解：（1）由條件得 920vv2+3v+1600＞10，
整理得v2-89v+1600＜0，
即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．
（2）依題意，y=

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

3+2 1600

=

920

83

，
當(dāng)且僅當(dāng)v=

1600

v

，即v=40時(shí)，上式等號(hào)成立，
所以ymax=

920

83

≈11.1（千輛/時(shí)）．
∴如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25km/h且小于64km/h．當(dāng)v=40km/h時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．要特別留意等號(hào)取得的條件．