Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=-

1

3

，n∈N*，當n≥2時，有3a_n-2a_n-1+n+2=0，設(shè)b_n=a_n+n+1．
（I）求b₁，b₂；
（II）證明數(shù)列{b_n-1}是等比數(shù)列；
（III）設(shè)cn=

( 2 3 )n

2 b 2 n +bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由b_n=a_n+n+1及3a_n-2a_n-1+n+2=0把n=1，2分別代入可求
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1），

an+n

an-1+n-1

=

2

3

，即

bn-1

bn-1-1

=

2

3

，從而可證
（III）由（I）可得bn=

2

3

bn-1+

1

3

從而可求bn=1+(

2

3

)n，則cn=

( 2 3 )n

2 b 2 n +bn

=

bn-bn+1

bnbn+1

=

1

bn+1

-

1

bn

，從而可利用裂項求和．

解答：解：（I）∵a1=-

1

3

，b_n=a_n+n+1∴b1=a1+2=

5

3

當n=2時，3a₂-2a₁+4=0可得a2=-

14

9

∴b2=3+a2=

13

9

（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1）

an+n

an-1+n-1

=

2

3

，n≥2即

bn-1

bn-1-1

=

2

3

∵b1- 1=

2

3

≠0
∴{bn-1}是以

2

3

為首項，

2

3

為公比的等比數(shù)列
（III）由（I）可得bn=

2

3

bn-1+

1

3

∴2b_n-1+1=3b_n，所以bn=1+(

2

3

)n
cn=

( 2 3 )n

2 b 2 n +bn

=

( 2 3 )n

(2bn+1)bn

=

bn-bn+1

bnbn+1

=

1

bn+1

-

1

bn

Tn=C1+C2+…+Cn=

1

bn+1

-

1

b1

=

3n+1

2n+1+ 3n+1

-

3

5

點評：本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，而定義法是證明數(shù)列為等比（等差）數(shù)列的常見方法，裂項求和是數(shù)列求和的重要方法，要注意掌握．