Question

如果函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-1]∪[0，1）
B．[-1，1）
C．{-1，0}
D．[-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：利用絕對(duì)值的幾何意義，由y=|x|-1可得，x≥0時(shí)，y=x-1；x＜0時(shí)，y=-x-1，確定函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線必相交于（±1，0），為了使函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則兩曲線無(wú)其它交點(diǎn)．y=x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²-2λx+λ-1=0，分類討論，可得結(jié)論，根據(jù)對(duì)稱性，同理可得x＜0時(shí)的情形．
解答：解：由y=|x|-1可得，x≥0時(shí)，y=x-1；x＜0時(shí)，y=-x-1，
∴函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線必相交于（±1，0）
所以為了使函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則
y=x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²-2λx+λ-1=0
當(dāng)λ=-1時(shí)，x=1滿足題意，
由于△＞0，1是方程的根，∴0，即-1＜λ＜1時(shí)，方程兩根異號(hào)，滿足題意；
y=-x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²+2λx+λ-1=0
當(dāng)λ=-1時(shí)，x=-1滿足題意，
由于△＞0，-1是方程的根，∴0，即-1＜λ＜1時(shí)，方程兩根異號(hào)，滿足題意；
綜上知，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[-1，1）
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的交點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．