Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=

2x

1+x

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=

1

2

，a_n+1=g（a_n）（n∈N）．
（Ⅰ）當(dāng)x＞-1時(shí)，比較x與f（x）的大小；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求證：a₁+a₂+…+a_n＞ln

2n+1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=x-ln（1+x）利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，從而判斷得到x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）通過(guò)關(guān)系式a_n+1=g（a_n）變形得{

1

an

-1}是一等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)，從而計(jì)算出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中x≥ln（1+x）知a_n＞ln（a_n+1），而ln（a_n+1）=ln（2ⁿ+1）-ln（2^n-1+1），然后利用累加法化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＞-1時(shí)，設(shè)F（x）=x-ln（1+x），∴F'（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，，令F'（x）=0 有x=0，
當(dāng)x∈（-1，0），F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，+∞），F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．
∴F（x）的最小值為F（0）=0∴x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）∵an+1=

2an

1+an

，∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

+1)，∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
∴{

1

an

-1}為首項(xiàng)是1、公比為

1

2

的等比數(shù)列．∴

1

an

-1=(

1

1 2

-1)(

1

2

)  n-1=(

1

2

)n-1，∴an=

2n-1

2n-1+1

；
（Ⅲ）∵a_n＞0，由（Ⅰ）知an＞ln(an+1)=ln(

2n-1

2n-1+1

+1)=ln(2n+1)-ln(2n-1+1)，
∴a₁+a₂+…+a_n＞[ln（2¹+1）-ln（2⁰+1）+…+ln（2ⁿ+1）-ln（2^n-1+1）]
=[ln(2n+1)-ln2]=ln

2n+1

2

，即證．

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，及數(shù)列求和中裂項(xiàng)相消法的運(yùn)用．