Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2+

3

an

，a₁=2，b_n=

an-k

an+1

，且數(shù)列{b_n}為公比不為1的等比數(shù)列．
（1）求k的值；
（2）求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n；
（3）令c_n=

lg|bn|

-lg3

，求證：mln2≤

2m-1

n=1

1

n

≤m（m、n∈N^*）．

Answer 1

分析：第1問根據(jù)等比數(shù)列的定義及給出的兩個關(guān)系式求出k的值．第2問對于{nb_n}等差數(shù)列乘以等比數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列求和采用錯位相減法．第3問先根據(jù)b_n求出c_n，然后分左右兩邊的不等式分別證明，左邊不等式需構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出最值．然后給n依次取1，2，3，…，2^m-1時成立的式子累加可達到證明的目的；右邊不等式用數(shù)列的單調(diào)性，即后項減前項的結(jié)果正或負判斷增還是減，從而利用單調(diào)性達到證明的目的．

解答：解：（1）設{a_n} 的公比為q≠1，即

bn+1

bn

=q，又bn=

an-k

an+1

，an+1=2+

3

an

∴

(2-k)an+3

3(an+1)

×

an+1

an-k

=q是關(guān)于n∈N^*的恒等式．
∴（2-k）a_n+3=3qa_n-3qk是關(guān)于n∈N^*的恒等式．
∴

3=-3qk 2-k=3q

又q≠1，∴k=3…4分
（2）由（1）知b1=

a1-3

a1+1

=

2-3

2+1

=-

1

3

，q= -

1

3

∴bn=(-

1

3

)n…5分
∴nbn=n(-

1

3

)n
Tn=-

1

3

+2×(-

1

3

)2+…+n×(-

1

3

)n…①
-

1

3

Tn=(-

1

3

 )2+2×(-

1

3

)3+…+n×(-

1

3

)n+1…②
①-②得：

4

3

Tn=(-

1

3

)1+(-

1

3

)2+…+(-

1

3

)n-n(-

1

3

)n+1
=

- 1 3 [1-(- 1 3 )n ]

1+ 1 3

-n(-

1

3

)n+1
=

1

4

(-

1

3

)n -n(-

1

3

)n+1-

1

4

∴Tn=

3

16

(-

1

3

)n-

3

4

n(-

1

3

)n+1-

3

16

…7分
（3）由題意c_n=n，即證mln2≤

2m-1

n=1

1

n

≤m
  先證mln2≤

2m-1

n=1

1

n

令 f（x）=ln（x+1）-x，則f′(x)=

-x

1+x

當x∈（-1，0）時，-x＞0，1+x＞0，f′（x）＞0
∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當x∈（0，-∞）時，-x＜0，1+x＞0，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，-∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）_max=f（0）=0
∴f（x）≤0，即ln（x+1）≤x…8分
令x=

1

n

，則ln(

1

n

+1)≤

1

n

，即ln

n+1

n

≤

1

n

∴l(xiāng)n2≤1
ln

3

2

≤

1

2

ln

4

3

≤

1

3

…
ln

2m

2m-1

≤

1

2m-1

相加得：ln(2×

3

2

×

4

3

×…×

2m

2m-1

)≤

2m-1

n=1

1

n

…10分
即mln2≤

2m-1

n=1

1

n

再證：

2m-1

n=1

1

n

≤m
令h(m)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2m-1

-m
則h(m-1)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2m-1-1

-(m-1)
∴h(m)-h(m-1)=

1

2m-1

+

1

2m-1+1

+…+

1

2m-1

-1＜0…12分
∴h（m）單調(diào)遞減．
∵h（1）=1-1=0∴h（m）≤h（1）=0
即

2m-1

n=1

1

n

≤m…13分
綜上得：mln2≤

2m-1

n=1

1

n

≤m…14分

點評：本題的第1問主要考查了等比數(shù)列的定義．第2問主要考查了錯位相減法關(guān)鍵在于：“什么時候用？怎么用？”．第3問考查了不等式的證明，證明中構(gòu)造了函數(shù)，難點在于怎樣構(gòu)造，構(gòu)造什么樣的函數(shù)．所以總體來說第3問比較難．