Question

動(dòng)圓P與定圓O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，設(shè)P點(diǎn)的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）過點(diǎn)A（3，0）作直線l交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若當(dāng)λ₁+λ₂=m時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，
動(dòng)圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，
|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，…（3分）
點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)₁、O₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支，
a=1，c=2，
方程為…（6分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當(dāng)k不存在時(shí)，不合題意．
直線PQ的方程為y=k（x-3），
則，
…（8分）
由∵x₁、，
∴k²＞3…（10分）
…（14分）
分析：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，動(dòng)圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，由此能求出C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），當(dāng)k不存在時(shí)，不合題意．直線PQ的方程為y=k（x-3），由此能求出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．