Question

若關(guān)于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（-∞，-

2 3

3

]

．

Answer 1

分析：關(guān)于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，可轉(zhuǎn)化成不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0恒成立，然后討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式可得結(jié)論．

解答：解：∵關(guān)于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，
∴不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0恒成立
①當(dāng)m+1=0時(shí)，（m+1）x²-mx+m-1≤0，即x≤2，不是對(duì)任意x∈R恒成立；
②當(dāng)m+1≠0時(shí)，?x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1≤0，
即m+1＜0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）≤0，
化簡(jiǎn)得：3m²≥4，解得m≥

2 3

3

或m≤-

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3

，
∴m≤-

2 3

3

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-

2 3

3

．
故答案為：（-∞，-

2 3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即根據(jù)二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向和判別式的符號(hào)，列出等價(jià)條件求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題．