Question

已知f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)x∈[-e，0），利用函數(shù)為奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x），將f（-x）的值代入，求出f（x）在x∈[-e，0）的解析式．
（2）求出f′（x）=0的根，討論根不在定義域內(nèi)時(shí)，函數(shù)在定義域上遞增，求出最小值，令最小值等于4，求a；根在定義域內(nèi)，列出x，f′（x），f（x）d的變化情況表，求出函數(shù)的最小值，列出方程求a值．
解答：解：（1）設(shè)x=[-e，0），則-x∈（0，e]∴f（-x）=-ax+2ln（-x）．∵f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函數(shù)f（x）的解析式為：
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（-e，0]時(shí)，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵．
①當(dāng)時(shí)，
由于x∈[-e，0），則f'（x）≥0．故函數(shù)f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函數(shù)．
∴所以f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得（舍去）
②當(dāng)

x
f'（x）	-	+
f（x）	↘	↗

∴，解得a=-2e
綜上所知，存在實(shí)數(shù)a=-2e，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，f（x）最小值4．
點(diǎn)評：解決是否存在這種探索性的題時(shí)，一般是假設(shè)存在，然后去求，求出則存在，求不出就不存在．