已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x；
（I）求證：對?a＞0，f（x）≤ax2；
（II）證明：ln（n+1）≤數(shù)學公式，（n∈N*）；
（III）求證：對?t∈R，e2x-2t（ex+x）+x2+2t2-數(shù)學公式≥0．

解：（I）只需證明f（x）的最大值為O即可，f′（x）=-1，令f′（x）=0，得x=0，
當-1＜x＜1時，f′（x）＞0．當x＞0時，f′（x）＜0
∴x=0是f（x）唯一的極大值點，故f（x）的最大值=f（0）=0
∵a＞0，∴ax2≥0
從而 f（x）≤ax2（4分）
（II）由（I）當x＞-1時，f（x）≤ax2，即
ln（1+x）≤x+x2=x（1+x）
令x= 得ln（1+）=ln（1+n）-lnn≤
∴l(xiāng)n2-ln1≤，ln3-ln2≤…
ln（1+n）-lnn≤
上面n個不等式相加，得ln（1+n）≤ （9分）
（III）由（I）得x＞-1時 ln（1+x）≤x即ex-x≥1
∴=2×≤2×=e2x-2t（ex+x）+x2+2t2，
∴e2x-2t（ex+x）+x2+2t2-≥0 （14分）
分析：（I）只需證明f（x）的最大值為O即可，利用導數(shù)研究此函數(shù)的最大值，從而得出結論；
（II）第II問取a=1這特殊情形，將連續(xù)型函數(shù)轉化為間斷型數(shù)列求和，用裂項法處理．第II問由左邊的一項到右邊的n項，肯定是由幾個不等式累加而成；
（III）第III問用分析法將不等式左邊重新組合，再配方，利用重要不等式進行放縮即可．
點評：本題第I問主要考查用導數(shù)方法研究函數(shù)性態(tài)，處理不等式恒成立問題為后面兩問提供“工具”．第II問取a=1這特殊情形，將連續(xù)型函數(shù)轉化為間斷型數(shù)列求和，用裂項法處理．第III問將第I問提供的工具變形后再用，其中考查了利用重要不等式放縮這一技巧．對轉化與化歸思想要求較高，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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