Question

如圖，點O是半徑為l的球心，點A、B、C在此球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧

AB

與

AC

的中點，
（1）求異面直線OE與AC的夾角的大�。�
（2）求點E、F在該球面上的球面距離．

Answer 1

分析：（1）連AB、BC、AC，分別取AB、BC、AC的中點D、H、M，欲求異面直線OE與AC的夾角的大小，而OE∥AC，得出∠ODH就是異面直線OE與AC所成的角或其鄰補角，利用等邊三角即可求出此角的大小；
（2）過E、F做AO的垂面交AO于G，求出EG，EF，然后求出∠EOF，利用扇形弧長公式求球面距離即可．

解答：解：（1）連AB、BC、AC，分別取AB、BC、AC的中點D、H、M，
則OD=OH=DH=

2

，OE=OH=EH=

2

2

，而OE∥AC
所以∠ODH就是異面直線OE與AC所成的角或其鄰補角，等于

π

3

（2分）
所以異面直線OE與AC的夾角的大小為

π

3

（3分）
（2）如圖，作EG⊥OA于點G，連EG、EF、FG，
EG=1×sin

π

4

=

2

2

=FG，∠EGF=

π

2

∴EF=

EG2+FG2

=1=OE=OF（5分）
∴∠EOF=

π

3

，
∴E、F，在該球面上的球面距離為

π

3

×1=

π

3

（7分）

點評：本小題主要考查異面直線及其所成的角、球面距離及相關計算等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象力．屬于基礎題．