Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，PF₁與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓相切，切點(diǎn)為M，若$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{F}_{1}}+\overrightarrow{OP}$），那么該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 連結(jié)PF₂、OM，根據(jù)三角形中位線定理，算出|PF₂|=2|OM|=2a．由圓的切線性質(zhì)，得到OM⊥PF₁，結(jié)合OM∥PF₂得PF₂⊥PF₁．然后在△PF₁F₂中利用勾股定理，結(jié)合雙曲線的定義解出c=$\sqrt{5}$a，利用雙曲線離心率公式即可算出該雙曲線的離心率．

解答 解：連結(jié)PF₂、OM，
∵$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{F}_{1}}+\overrightarrow{OP}$），
∴M是PF₁的中點(diǎn)
∴OM是△PF₁F₂的中位線，
∴OM∥PF₂，且|PF₂|=2|OM|=2a
∵PF₁與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓相切，
∴OM⊥PF₁，可得PF₂⊥PF₁，
△PF₁F₂中，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，…①
∵根據(jù)雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a
∴|PF₁|=|PF₂|+2a=4a，代入①得（4a）²+（2a）²=|F₁F₂|²，
∴（2c）²=|F₁F₂|²=20a²，解之得c=$\sqrt{5}$a
由此可得雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題給出雙曲線的一條焦半徑與以實(shí)軸長為直徑的圓相切，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)，三角形中位線定理和勾股定理等知識，屬于中檔題．