(2010•懷柔區(qū)模擬)函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2

(1)求f(
1
2
)的值;
(2)數(shù)列{an}滿足:an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1),數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?請給予證明;
(3)令bn=
4
4an-1
,Tn=b12+b22+b32+…+bn2,Sn=32-
16
n
,試比較Tn與Sn的大。
分析:(1)由已知中f(x)+f(1-x)=
1
2
,令x=
1
2
,可得f(
1
2
)的值;
(2)令x=
1
n
,可得f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
,利用倒序相加法,可得答案.
(3)由bn=
4
4a2-1
=
4
n
可得:Tn=c12+b22…+bn2=16(1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)≤16[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
],利用裂項相消法,可得結(jié)論.
解答:解:(1)因為f(
1
2
)+f(1-
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)=
1
2

所以f(
1
2
)=
1
4
.(2分)
(2)令x=
1
n
,得f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2

即f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
.(4分)
an=f(0)+f(
1
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1),
又an=f(1)+f(
n-1
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
兩式相加:
2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…
+[f(1)+f(0)]=
n+1
2
(7分)
所以an=
n+1
4
,n∈N*
,又an+1-an=
n+1+1
4
-
n+1
4
=
1
4

故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(9分)
(3)bn=
4
4a2-1
=
4
n
,
∴Tn=c12+b22…+bn2=16(1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2

≤16[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
](12分)
=16[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…(
1
n-1
-
1
n
)]
=16(2-
1
n
)=32-
16
n
=Sn
所以Tn≤Sn(14分)
點評:本題考查的知識點是抽象函數(shù)求值,數(shù)列求和,熟練掌握數(shù)列求和的各種方法及適用范圍是解答的關(guān)鍵.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•懷柔區(qū)模擬)已知平面向量
a
=(-1,1)
,
b
=(2,0)
,則向量
a
-
1
2
b
=(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•懷柔區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=-cosx+cos(
π
2
-x)
,x∈R
(1)求f(x)的周期;
(2)若x∈(0,
π
4
)
,且sin2x=
1
3
,求f(x)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•順德區(qū)模擬)已知α∈(-
π
2
,0)
cosα=
3
5
,則tan(α+
π
4
)
=(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•順德區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-b.
(1)若a,b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述函數(shù)有零點的概率.
(2)若a,b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個數(shù),求f(1)>0成立時的概率.

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