Question

平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l：x=4，定點(diǎn)F（1，0），動點(diǎn)P（x，y）到直線l的距離是到定點(diǎn)F的距離的2倍．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若M為軌跡C上的點(diǎn)，以M為圓心，MF長為半徑作圓M，若過點(diǎn)E（-1，0）可作圓M的兩條切線EA，EB（A，B為切點(diǎn)），求四邊形EAMB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P到l的距離為d，依題意得|x-4|=2

(x-1)2+y2

，由此能得到軌跡C的方程．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，由兩切線存在可知，點(diǎn)E在圓M外，所以x₀＞0，又M（x₀，y₀）為軌跡C上的點(diǎn)，所以0＜x₀≤2．由|MF|=

d

2

=

1

2

|x0-4|，知1≤r＜2．由E（-1，0）為橢圓的左焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知，|ME|+|MF|=4，所以在直角三角形MEB中，|EB|=

(4-r)2-r2

=2

4-2r

，S△MEB=

1

2

|EB|•|MB|=r

4-2r

，由圓的性質(zhì)知，四邊形EAMB面積S=2S△MEB=2r

4-2r

，由此能求出四邊形EAMB面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P到l的距離為d，依題意得d=2|PF|，
即|x-4|=2

(x-1)2+y2

，…（2分）
整理得，軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．         …（5分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀），圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，其中r=|MF|=

(x0-1)2+ y 2 0

由兩切線存在可知，點(diǎn)E在圓M外，
所以，

(-1-x0)2+(0-y0)2

＞

(x0-1)2+ y 2 0

，即x₀＞0，
又M（x₀，y₀）為軌跡C上的點(diǎn)，所以0＜x₀≤2．
而|MF|=

d

2

=

1

2

|x0-4|，所以，1≤|MF|＜2，即1≤r＜2． …（8分）
由（1）知，E（-1，0）為橢圓的左焦點(diǎn)，
根據(jù)橢圓定義知，|ME|+|MF|=4，
所以|ME|=4-r，而|MB|=|MF|=r，
所以，在直角三角形MEB中，|EB|=

(4-r)2-r2

=2

4-2r

，S△MEB=

1

2

|EB|•|MB|=r

4-2r

，
由圓的性質(zhì)知，四邊形EAMB面積S=2S△MEB=2r

4-2r

，其中1≤r＜2．…（12分）
即S=2

-2r3+4r2

（1≤r＜2）．
令y=-2r³+4r²（1≤r＜2），則y'=-6r²+8r=-2r（3r-4），
當(dāng)1＜r＜

4

3

時，y'＞0，y=-2r³+4r²單調(diào)遞增；
當(dāng)

4

3

＜r＜2時，y'＜0，y=-2r³+4r²單調(diào)遞減．
所以，在r=

4

3

時，y取極大值，也是最大值，
此時S_max=2

-2( 4 3 )3+4( 4 3 )2

=

16

9

3

．            …（16分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法和求四邊形面積的最大值，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行待價轉(zhuǎn)化．