Question

若2^x=3^y=5^z＜1，求證：

1

x

+

1

y

＜

1

z

．

Answer 1

分析：設(shè)t=2^x=3^y=5^z用t來(lái)表示x，y，z，再利用對(duì)數(shù)的換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性即可證得．

解答：證：設(shè)t=2^x=3^y=5^z且t＜1，
則有x=log₂t，y=log₃t，z=log₅t，
∴

1

x

+

1

y

=log_t2+log_t3=log_t6＜log_t5=

1

z

，
∴：

1

x

+

1

y

＜

1

z

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，本題利用的綜合法．從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法．