Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過左焦點作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且|AB|=1．（1）求橢圓E的方程：（2）設P，Q是橢圓E上的兩點，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ，其中O是坐標原點，當P，Q運動時，是否存在定圓O，使得直線PQ都與定圓O相切？若存在，請求出圓O的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,直線與圓的位置關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運用橢圓的離心率公式和過焦點垂直于x軸的弦長，以及a，b，c的關系，即可解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．則橢圓的極坐標方程為ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，設P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+

π

2

），（0＜θ＜

π

2

），當P，Q運動時，假設存在定圓O，使得直線PQ都與定圓O相切．則設定圓O的半徑為r，則在三角形OPQ中，運用面積相等即有

1

2

r|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，化簡整理，即可解得r．

解答： 解：（1）橢圓的離心率為

3

2

，即有

c

a

=

3

2

，
令x=-c，則y=±b

1- c2 a2

=±

b2

a

，即有

2b2

a

=1，
又a²-b²=c²，解得，a=2，b=1．
則橢圓E：

x2

4

+y²=1；
（2）以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．
則橢圓的極坐標方程為ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，
設P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+

π

2

），（0＜θ＜

π

2

），
當P，Q運動時，假設存在定圓O，使得直線PQ都與定圓O相切．
則設定圓O的半徑為r，則在三角形OPQ中，

1

2

r|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，
即有r

ρ12+ρ22

=ρ₁ρ₂，
即有r²•（

4

cos2θ+4sin2θ

+

4

sin2θ+4cos2θ

）=

4

cos2θ+4sin2θ

•

4

sin2θ+4cos2θ

，
化簡得，4r²•5=16，解得，r²=

4

5

．
故當P，Q運動時，存在定圓O：x²+y²=

4

5

，使得直線PQ都與定圓O相切．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓的極坐標方程及運用，考查化簡和運算能力，屬于中檔題．