Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：（x﹣1）f（x）≥0．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得，
∴xf′（x）=xlnx+1，
題設(shè)xf′（x）≤x²+ax+1等價(jià)于lnx﹣x≤a，
令g（x）=lnx﹣x，則g′（x）=．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）0，
∴x=1是g（x）的最大值點(diǎn)，
∴g（x）≤g（1）=﹣1．
綜上，a的取值范圍是[﹣1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0；
0＜x＜1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）≤0；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0