Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂（mx²-x+$\frac{1}{16}$m），g（x）=（$\frac{1}{8}$）^x
（1）若函數(shù)y=f（x）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若對于?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=f（x）的定義域為R，mx²-x+$\frac{1}{16}$m＞0恒成立，分類討論，利用判別式，即可求實數(shù)m的取值范圍；
（2）?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），f（x₁）＞g（x）_min，進一步可得mx²-x+$\frac{1}{16}$m-2＞0恒成立，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）的定義域為R，
∴mx²-x+$\frac{1}{16}$m＞0恒成立，
m=0時，不滿足；
m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=1-\frac{1}{4}{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，∴m＞2，
綜上所述，m＞2；
（2）∵?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），
∴f（x₁）＞g（x）_min，
∵g（x）=（$\frac{1}{8}$）^x，x₂∈（-∞，0]，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，g（x）_min=1，
∴l(xiāng)og₂（mx²-x+$\frac{1}{16}$m）＞1恒成立，
∴mx²-x+$\frac{1}{16}$m-2＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=1-\frac{1}{4}{m}^{2}+8m＜0}\end{array}\right.$，
解得m＞-16+2$\sqrt{65}$．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域與值域，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．