Question

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

1

4

x2；
（1）求函數(shù)在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求在點（0，f（0））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0解出其增區(qū)間，令導數(shù)小于0解出其減區(qū)間，并列出如圖的x變化時，f'（x），f（x）變化表由表中數(shù)據(jù)判斷最值即可

解答：解：（1）f′（x）=

1

1+x

-

1

2

x，k=f’（0）=1，f（0）=0
∴函數(shù)在點（0，f（0））處的切線方程：y=x
（2）令f′（x）=0，即

1

1+x

-

1

2

x=0，化簡為x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．
當0≤x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當1＜x≤2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
所以f（1）=ln2-

1

4

為函數(shù)f（x）的極大值．
又因為f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f（0）=0為函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值，
f（1）=ln2-

1

4

為函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程\利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求解的關鍵是利用導數(shù)研究清楚函數(shù)的單調性以及根據(jù)最值的判斷方法確定出函數(shù)的最值，此題規(guī)律性強，且固定，容易題．