Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x

；
（1）求f（2）與（

1

2

）f，f（3）與f（

1

3

）的值；
（2）由第（1）小題的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f（

1

x

）之間有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的發(fā)現(xiàn)；
（3）練習(xí)第（2）小題的結(jié)論，求：
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）+f（

1

2014

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=

x

1+x

，易求f（2）與（

1

2

）f，f（3）與f（

1

3

）的值；
（2）由（1）可知，f（x）+f（

1

x

）=1；由f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1 x

1+ 1 x

即可證得結(jié)論成立；
（3）由f（x）+f（

1

x

）=1即可求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）+f（

1

2014

）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

1+x

，
∴f（2）=

2

3

，f（

1

2

）=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，f（3）=

3

4

，f（

1

3

）=

1

4

；
（2）由（1）可知，f（x）+f（

1

x

）=1．
證明：∵f（x）=

x

1+x

，
∴f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1 x

1+ 1 x

=

x

1+x

+

1

1+x

=

1+x

1+x

=1．
（3）由f（x）+f（

1

x

）=1得：
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）+f（

1

2014

）
=f（1）+[（f（2）+f（

1

2

））+（f（3）+f（

1

3

））+…+（f（2014）+f（

1

2014

））]
=

1

2

+2013=

4027

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的求值，求得f（x）+f（

1

x

）=1是關(guān)鍵，考查推理、觀察與運(yùn)算能力，屬于中檔題．