已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,n∈N*)
(Ⅰ)求證:數(shù)列{
an2n
}
是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{的前n項(xiàng)之和Sn
分析:(I)在等式an=2an-1+2n的兩邊同除以2n,利用等差數(shù)列的定義得到證明,利用對(duì)稱數(shù)列的通項(xiàng)公式求出
an
2n
,進(jìn)一步求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(II)由于通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列,利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解答:解:(I)∵an=2an-1+2n
an
2n
=
an-1
2n-1
+1

an
2n
-
an-1
2n-1
=1

∴數(shù)列{
an
2n
}
是等差數(shù)列,公差為=1,首項(xiàng)為
a1
2
=
1
2

an
2n
=
1
2
+(n-1)×1

∴an=(2n-1)•2n-1
(II)Sn=1•20+3•21+5•22+…+(2n-1)•2n-1
∴2Sn=1•21+3•22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n
兩式相減得
-Sn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-(2n-1)2n=(3-2n)•2n-3
∴Sn=(2n-3)•2n+3
點(diǎn)評(píng):求數(shù)列的前n項(xiàng)和,一般先求出數(shù)列的通項(xiàng),然后選擇合適的求和方法.常用的求和方法有:公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂相消法、分組法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案