Question

中心在坐標(biāo)原點、焦點在x軸上的橢圓，它的離心率為

3

2

，與直線x+y-1=0相交于M、N兩點，若以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求橢圓方程．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依題意橢圓方程可轉(zhuǎn)化為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，與直線x+y-1=0聯(lián)立，設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用OM⊥ON可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理可得到關(guān)于b的關(guān)系式，從而可求得b²與a²．

解答：解：設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

3

2

，
∴a²=4b²，即a=2b．
∴橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1．把直線方程代入化簡得5x²-8x+4-4b²=0．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

8

5

，x₁x₂=

1

5

（4-4b²），
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=

1

5

（1-4b²）．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
解得b²=

5

8

，a²=

5

2

．
∴橢圓方程為

2

5

x²+

8

5

y²=1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查待定系數(shù)法及綜合分析與運算能力，屬于中檔題．