Question

設(shè)m∈Z，函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3，g(x)=logm+1

x+2

2-x

，且f(

3

5

)＜1．
（1）求m的值，并確定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用f(

3

5

)＜1，解指數(shù)不等式，即可求出m的范圍，再根據(jù)m∈Z，的到整數(shù)m，代入兩個(gè)函數(shù)，判斷是否成立，就可求出m的值，并可判斷f（x）的奇偶性．
（2）用定義法判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，先求出函數(shù)的定義域，再設(shè)函數(shù)在定義域上任意兩個(gè)x₁，x₂，且x₁＜x₂，再作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小即可，作差后一定要將差分解為幾個(gè)因式的乘積的形式，再判斷每一個(gè)因式的符號(hào)，根據(jù)負(fù)因式的個(gè)數(shù)判斷積的符號(hào)，最后得出結(jié)論．

解答：解：（1）由f(

3

5

)＜1，得(

3

5

)-2m2+m+3＜1，
∴-2m²+m+3＞0，解得，-1＜m＜

3

2

，
又∵m∈Z，∴m=0或1
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）的底數(shù)為1，無意義，舍去．
當(dāng)m=1時(shí)，∴-2m²+m+3=2，f（x）=x²是偶函數(shù)．此時(shí)g（x）的底數(shù)為2，成立
綜上所述，m的值為1，f（x）=x²
（2）由（1）知，g(x)=log2

x+2

2-x

，（x≠2）
由

x+2

2-x

＞0，得-2＜x＜2，∴g（x）的定義域?yàn)椋?2，2）
設(shè)-2＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）-f（x₂）=log2

x1+2

2-x1

-log2

x2+2

2-x2

=log_a

x1+2

2-x1

•

2-x2

x2+2

=log_a

-x1x2+2x1-2x2+4

4-2x1+2x2-x1x2

∵-2＜x₁＜x₂＜2，∴0＜-x₁x₂+2x₁-2x₂+4＜4-2x₁+2x₂-x₁x₂⇒

-x1x2+2x1-2x2+4

4-2x1+2x2-x1x2

＜1
∴l(xiāng)og_a

-x1x2+2x1-2x2+4

4-2x1+2x2-x1x2

＜0
∴函數(shù)g（x）在（-2，2）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，屬于概念考查題．