Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a1=

1

2

，

1

2an+1

=

1

2an

+1（n∈N₊）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=

2n

an

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由條件可得

1

an+1

-

1

an

=2，從而可得數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：（1）證明：∵

1

2an+1

=

1

2an

+1
∴

1

an+1

-

1

an

=2
∵a1=

1

2

∴數(shù)列{

1

an

}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，

1

an

=2+2(n-1)=2n
∴bn=

2n

an

=2n•2ⁿ
∴T_n=2（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）①
∴2T_n=2[1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]②
①-②可得-T_n=2（2¹+2²+…+2ⁿ）-2n•2ⁿ⁺¹=-4+2ⁿ⁺²-2n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=4-2ⁿ⁺²+2n•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．