2.函數(shù)y=$\frac{{lg\sqrt{x}}}{{lg(10{x^2})}}$,x∈(10-2,104)且x≠$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$的值域?yàn)椋?∞,$\frac{2}{9}$)∪($\frac{1}{3}$,+∞).

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì),利用換元法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后利用函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 解:y=$\frac{{lg\sqrt{x}}}{{lg(10{x^2})}}$=$\frac{\frac{1}{2}lgx}{lg10+lg{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{lgx}{1+2lgx}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{lgx}{lgx+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{lgx+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$•(1-$\frac{\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$),
設(shè)t=lgx,
∵x∈(10-2,104),
∴t∈(-2,4),
則y=$\frac{1}{4}$•(1-$\frac{\frac{1}{2}}{lgx+\frac{1}{2}}$)=$\frac{1}{4}$•(1-$\frac{\frac{1}{2}}{t+\frac{1}{2}}$),則(-2,-$\frac{1}{2}$)和(-$\frac{1}{2}$,4)上分別單調(diào)遞增遞增,
當(dāng)t∈(-2,-$\frac{1}{2}$)時(shí),y>$\frac{1}{4}$•(1-$\frac{\frac{1}{2}}{-2+\frac{1}{2}}$)=$\frac{1}{3}$,
當(dāng)t∈(-$\frac{1}{2}$,4)時(shí),y<$\frac{1}{4}$•(1-$\frac{\frac{1}{2}}{4+\frac{1}{2}}$)=$\frac{2}{9}$,
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞,$\frac{2}{9}$)∪($\frac{1}{3}$,+∞),
故答案為:(-∞,$\frac{2}{9}$)∪($\frac{1}{3}$,+∞)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及換元法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算能力.

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