Question

【題目】已知雙曲線C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）為焦點，且過點P（7，12）．
（1）求雙曲線C與其漸近線的方程；
（2）若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，且 （O為坐標原點）．求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設雙曲線C的方程為 ，半焦距為c，

則c=2， ，a=1，

所以b2=c2﹣a2=3，

故雙曲線C的方程為 ．

雙曲線C的漸近線方程為

（2）解：設直線l的方程為y=x+t，將其代入方程 ，

可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0（*）

△=4t2+8（t2+3）=12t2+24＞0，若設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1，x2是方程（*）的兩個根，所以 ，

又由 ，可知x1x2+y1y2=0，

即x1x2+（x1+t）（x2+t）=0，可得 ，

故﹣（t2+3）+t2+t2=0，解得 ，

所以直線l方程為

【解析】（1）設出雙曲線C方程，利用已知條件求出c，a，解得b，即可求出雙曲線方程與漸近線的方程；（2）設直線l的方程為y=x+t，將其代入方程 ，通過△＞0，求出t的范圍，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達定理，通過x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直線方程．