已知橢圓（a＞b＞0）的離心率e=，短軸長(zhǎng)是2．
（I）求橢圓的方程；
（II）斜率為k經(jīng)過(guò)M （O，）的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，是否在實(shí)數(shù)k使成立，若存在，求出k值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓（a＞b＞0）的離心率e=，短軸長(zhǎng)是2，可求幾何量，從而可求橢圓的方程；
（II）假設(shè)存在，設(shè)直線l：y=kx+，代入可得，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），根據(jù)，可得x1x2+y1y2=0，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）∵橢圓（a＞b＞0）的離心率e=，短軸長(zhǎng)是2．
∴
∵a2=b2+c2
∴a=，c=1
∴橢圓的方程為；
（II）假設(shè)存在，設(shè)直線l：y=kx+，代入可得
由△=32k2-4×2（1+2k2）＞0，解得或
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴，
∴==
∵
∴x1x2+y1y2=0
∴
∴k2=2
∴滿足題意
∴存在，使命題成立．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查存在性問(wèn)題的探究，解題的關(guān)鍵是將向量條件，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系x1x2+y1y2=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)與雙曲線=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(diǎn)(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項(xiàng),n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率是(    )

A.                    B.               C.                 D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆廣東省、陽(yáng)東一中高二上聯(lián)考文數(shù)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上的頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另 一點(diǎn)B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓（a>b>0）,點(diǎn)在橢圓上。

（I）求橢圓的離心率。

（II）設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值。

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí). 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年湖北省天門市高三天5月模擬文科數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．

   （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （2）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

(本小題滿分分)

（普通高中）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，焦距是函數(shù)的零點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),，求k的值．

 

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