Question

設x₁、x₂∈R，規(guī)定運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²+（x₁-x₂）²．
（Ⅰ）若x≥0，a＞0，求動點P（x，

a*x

）的軌跡c；
（Ⅱ）設P（x，y）是平面內任意一點，定義：d₁（p）=

1

2

(x*x)+(y*y)

，d₂（p）=

1

2

(x-a)*(x-a)

，問在（Ⅰ）中的軌跡c上是否存在兩點A₁、A₂，使之滿足d₁（A_i）=

a

•d2(Ai）（i=1、2），若存在，求出a的范圍．

Answer 1

分析：（I）由題中“*”運算的定義，得動點P（x，

a*x

）滿足y=

a*x

=

2(a2+x2)

，得y²=2（a²+x²），化簡即得所求軌跡c是焦點在y軸上的雙曲線，在第一象限內的一部分；
（II）根據(jù)題意，化簡得d1(p)=

x2+y2

且d₂（p）=|x-a|，假設存在兩點A₁、A₂滿足題設的條件，y²=2（a²+x²）消去y得關于x的一元二次方程：（3-a）x²+2a²x+2a²-a³=0，此方程有兩個非負的實數(shù)根．由此結合根的判別式與韋達定理，建立關于a的不等式組并解之，即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵x1*x2=(x1+x2)2+(x1-x2)2=2(x12+x22)
∴當x≥0時，設P（x，y），則y=

a*x

=

2(a2+x2)

，
∴y²=2（a²+x²）（y＞0）化簡得

y2

2a2

-

x2

a2

=1（x≥0，y＞0），
所求軌跡c是實半軸長為

2

a、虛半軸長為a，焦點在y軸上的雙曲線，
在第一象限內的一部分（包括上頂點(0，

2

a)）…6′
（Ⅱ）d1(p)=

1

2

(x*x)+(y*y)

=

x2+y2

，d2(p)=

1

2

(x-a)*(x-a)

=|x-a|．
假設存在兩點A₁、A₂，使得d1(Ai)=

a

•d2(Ai)（i=1、2），即

x2+y2

=

a

•|x-a|．
∴x²+y²=a•（x-a）²，
又∵y²=2（a²+x²），∴x²+2（a²+x²）=a•（x-a）²，
即（3-a）x²+2a²x+2a²-a³=0有兩非負實數(shù)根．…10′
∴

△=4a4-4(a-3)•a2•(a-2)＞0 x1+x2= 2a2 a-3 ＞0 x1•x2= a2(a-2) a-3 ≥0

?a＞3
故當a＞3時，存在適合條件的兩點．…13′．

點評：本題給出新定義，求動點的軌跡方程并依此討論滿足指定條件的點的存在性．著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、根的判別式和圓錐曲線的定義與性質等知識，屬于中檔題．