Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=，
（Ⅰ）若方程f（x）=x的解稱為函數(shù)y=f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，求a_n+1=f（a_n）的不動(dòng)點(diǎn)的值；
（Ⅱ）若a₁=2，b_n=，求證：數(shù)列{lnb_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)；
（Ⅲ）當(dāng)任意n∈N*時(shí)，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）由方程a_n+1=f（a_n）得a_n=，
解得a_n=0，或a_n=-1，或a_n=1；
（Ⅱ）∵a_n+1+1=+1=，
a_n+1-1=-1=，
∴兩式相除得，即b_n+1=b_n³，
由a₁=2可以得到b_n＞0，
則lnb_n+1=3lnb_n，
又b₁=，
得lnb₁=-ln3，
∴數(shù)列{lnb_n}是以-ln3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)nb_n=（-ln3）·3^n-1=，
從而b_n=（n∈N*）。
（Ⅲ）證明：任意n∈N*，3^n-1≥n，
∴b_n=≤，
從而b₁+b₂+b₃+…+b_n＜+（）²+（）³+…+（）ⁿ
=。