Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時，f(x)=

a

x

-x2（a為實數(shù)）．
（1）若f(

1

2

)=-2，求a的值；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)a＞2時，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=2，解方程求得a的值．
（2）設(shè)x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），故有 f(-x)=-

a

x

-x2，根據(jù)奇函數(shù)的定義解出f （x）．
（3）當(dāng)a＞2時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，設(shè)x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₁，可證得f（x₁）-f（x₂）＞0，
可得結(jié)論成立．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=2∴-2a-

1

4

=2，∴a=-

9

8

．
（2）設(shè)x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），∴f(-x)=-

a

x

-x2，∵f （x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），∴f(x)=

a

x

+x2．
（3）當(dāng)a＞2時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，
 則   f(x1)-f(x2)=(

a

x1

+x12)-(

a

x2

+x22)=a(

1

x1

-

1

x2

)+(x12-x22)=

x1-x2

x1x2

•[x1x2•(x1+x2)-a]，
∵x₁，x₂∈（0，1]，∴

x1-x2

x1x2

＜0，x₁x₂•（x₁+x₂）∈（0，2），
當(dāng)a＞2時，x₁x₂•（x₁+x₂）-a＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴當(dāng)a＞2時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．

點評：本題考查奇函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義和證明方法，求函數(shù)的解析式是解題的難點，屬于中檔題．