Question

10．若AB=2，AC=$\sqrt{2}$BC，則S_△ABC的最大值為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)BC=a，則AC=$\sqrt{2}$a，利用余弦定理可求得cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，再利用三角形的面積公式可求得S_△ABC=asinB，繼而可求S_△ABC²=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，從而可得△ABC面積的最大值．

解答 解：依題意，設(shè)BC=a，則AC=$\sqrt{2}$a，又AB=2，
由余弦定理得：2a²=a²+AB²-2a•ABcosB，
即a²+4acosB-4=0，
∴cosB=$\frac{1}{a}-\frac{a}{4}$，
∴cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，
∴sin²B=1-cos²B=$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB=$\frac{1}{2}$×2asinB=asinB，
∴S_△ABC²=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，
當(dāng)a²=12，即a=2$\sqrt{3}$時(shí)，2、2$\sqrt{3}$、2$\sqrt{6}$組成三角形，
∴S_△ABC²=8，∴S_△ABCmax=2$\sqrt{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，著重考查轉(zhuǎn)化思想與二次函數(shù)的配方法，求得S_△ABC²=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．